terça-feira, 2 de dezembro de 2008

Explicando o problema dos 35 camelos!



Na passagem abaixo está o problema completo. O resto do texto, no sentido matemático, é descartável.

- Somos irmãos - esclareceu o mais velho - e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?

Note que a herança foi de 1/2 para um, 1/3 para o outro e 1/9 para o terceiro. Somando-se as frações, a fração correspondente ao total de camelos : 1/2+1/3+1/9 = ( 9 + 6 + 2) / 18 = 17/18. Ou seja, o pai dos árabes (que não parecia saber calcular) deu aos filhos um total de camelos menor do que ele tinha.

17/18 é o mesmo que 1 - 1/18. Veja que esse 1/18 corresponde à 35*1/18 camelos, ou seja à aproximadamente 1,9 camelos. Beremiz ficou com uma parte desses 1,9 camelos e entregou o 0,9444… para os irmãos, acertando assim as contas.

A conta que Beremiz faz quando entra com seu camelo é apenas para ludibriar o leitor. Se ele não tivesse entrado com o seu camelo, funcionaria o raciocínio a mesma. Ou seja, Beremiz poderia dizer

- “Ô primeiro. Se ou invés de 17,5 vc ficasse com 18, estaria feliz? Ô segundo, 12 tá bom para você (parece programa do SS) ? Ô terceiro, 4 estará pela ordem?”

Satisfeitos todos, ora, 18+12+4 = 34.

Truques de matemática onde o resultado é surpreendente, sobram coisas ou faltam coisas, classicamente têm um erro em algum lugar da formulação ou alguma divisão por zero. Confiram sempre o problema em detalhes. Não existem milagres.

domingo, 30 de novembro de 2008

O problema dos 35 camelos


Mais um de Malba Tahan!
O problema
Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista. Encontramos, perto de um antigo caravançarã meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:

- Não pode ser !
- Isto é um roubo !
- Não aceito !

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos irmãos - esclareceu o mais velho - e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?

- E muito simples - atalhou o Homem que Calculava. - Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!

Neste ponto, procurei intervir na questão:

- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o camelo?
- Não te preocupes com o resultado, ó bagdali! - replicou-me em voz baixa Beremiz.
- Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.

Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar- lhe o meu belo jamal, que, imediatamente, foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.

- Vou, meus amigos - disse ele, dirigindo-se aos três irmãos - fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora como vêem, em número de 36.

E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metade de 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão!

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderásprotestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

E disse, por fim, ao mais moço:

- E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber a nona parte de 36, isto é, 4. O teu igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!

E concluiu com a maior segurança e serenidade:

- Pela vantajosa divisão feita e mãos Namir - partilha em que todos sairam lucrando - couberam 18 ao primeiro, l2 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao bagdali, meu amigo e companheiro, outro toca por direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

- Sois inteligente, ó Estrangeiro! - exclamou o mais velho dos três irmãos. - Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade!

E o astucioso Beremiz - o Homem Calculava - tomou logo posse de um dos mais belos “jamales” do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me pertencia:

- Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim!

E continuamos nossa jornada para Bagdá.

quinta-feira, 20 de novembro de 2008

Desafio dos quatro quatros!



Malba Tahan, no seu livro "O homem que Calculava", lançou o seguinte desafio:
Você é capaz de escrever de 0 a 10, utilizando apenas quatro algarismo quatro?
Pode utilizar qualquer operação.
Por exemplo:

44-44=0

Por favor, envie-me os resultados.

sábado, 15 de novembro de 2008

...A primeira máquina de calcular




Com o avanço da tecnologia, surgiram a calculadoras mais sofisticadas e também o computador, que, nos dias atuais, muito tem facilitado as atividades escolares.

A primeira máquina de calcular


A mão, a mais antiga máquina de calcular, foi e tem sido até hoje, um instrumento auxiliar na relização de cãlculos.
Desde Aristófanos até Plutarco, os autores gregos referem-se a ela.
O corpo humano utiliza as mãos como ferramenta para cálculos, que ão feitos pelos dedos a partir dos impulsos transmitido pelo cérebro.
A repetição mecânica de cálculos levou o homem a recriar um instrumento de calcular fora do corpo. Surgiram, assim, máquinas de calcular, como o ábaco.

domingo, 2 de novembro de 2008

Resultado da enquete

Conforme a enquete lançada na criação deste blog, vimos que 75% foram a favor que a tabuada deve ser memorizada, mas de uma maneira mais agradável.
Atendendo a maioria, estou postando atividades educativas que venham proporcionar um aprendizado mais divertido e, com o desenvolver destas brincadeiras, a memorização vai acontecendo, sem o "massacre da decoreba".
Não devemos desprezar o potencial da memorização da mente humana, mas sim incentivar.

sábado, 18 de outubro de 2008

Mais dicas:


Multiplicar por 4
Este é tão simples que parece óbvio. Mas para muitos não é. Consiste em multiplicar por 2 e multiplicar por 2 novamente.
66 x 4 = (66 x 2) x 2
132 x 2 = 264


Multiplicação difícil
Se tem números grandes para multiplicar, e um deles é par, simplesmente divida por 2 o lado par e multiplique por 2 o lado ímpar (ou o lado maior).
64 x 125, é o mesmo que:32 x 250, que é o mesmo que:16 x 500, que é o mesmo que:8 x 1000 = 8000


Dividindo por 5
Dividir um número grande por 5 é, na realidade, muito simples. Tudo o que precisa de fazer é multiplicar por 2 e então mover a casa decimal. Vamos exemplificar com o número 3250.
3250 / 5 = 3250 x 2 e mover a casa decimal um dígito para a esquerda
6500 = 650,0
650
Ou então:
41 / 5 = 41 x 2 e mover a casa decimal um dígito para a esquerda
82 = 8,2

Diversas regras de multiplicação
1. Multiplicar por 5: Multiplicar por 10 e dividir por 2.

2. Multiplicar por 6: Algumas vezes multiplicar por 3 e então 2 é fácil.

3. Multiplicar por 9: Multiplicar por 10 e subtrair o número original.

4. Multiplicar por 12: Multiplicar por 10 e somar o dobro do número original.

5. Multiplicar por 13: Multiplicar por 3 e somar 10 vezes o número original.

6. Multiplicar por 14: Multiplicar por 7 e então multiplicar por 2.

7. Multiplicar por 15: Multiplicar por 10 e somar 5 vezes o número original.

8. Multiplicar por 16: Pode-se multiplicar quatro vezes por 2. Ou multiplicar por 8 e depois por 2.

9. Multiplicar por 17: Multiplicar por 7 e somar 10 vezes número original.

10. Multiplicar por 18: Multiplicar por 20 e subtrair o dobro do número original.

11. Multiplicar por 19: Multiplicar por 20 e subtrair o número original.

12. Multiplicar por 24: Multiplicar por 8 e então multiplicar por 3.

13. Multiplicar por 27: Multiplicar por 30 e subtrair 3 vezes o número original.

14. Multiplicar por 45: Multiplicar por 50 e subtrair 5 vezes o número original.

15. Multiplicar por 90: Multiplicar por 9 e colocar zero à direita.

16. Multiplicar por 98: Multiplicar por 100 e subtrair duas vezes o número original.

17. Multiplicar por 99: Multiplicar por 100 e subtrair o número original.

sexta-feira, 10 de outubro de 2008

Truques que ajudam nas contas!!!!!









1- Multiplicar por 11
Todos sabemos multiplicar por 10 (apenas devemos colocar um zero no final), mas e multiplicar por 11? Vamos lá ver qual o truque:
Escolher um número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72:
7_2
Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco:
7_(7+2)_2
Fácil não é? Assim chega-se ao resultado: 792
Caso a soma central gere um número com dois dígitos é necessário pegar no primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93:
9_3
9_(9+3)_3
9_(12)_3
(9+1)_2_3
1023 - Nunca falha!

2. Elevar rapidamente ao quadrado número terminado em 5

Se precisar do quadrado de qualquer número com dois dígitos que termine em 5 pode utilizar este truque simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo + 1 e coloque 25 no final. Só isso. Vamos experimentar com 35 ao quadrado (35^2)
35^2 = (3x(3+1) e 25
=9+3 e 25
1225

3. Multiplicando por 5

Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando precisamos operar com dígitos maiores isso fica bem mais complexo, ou não? Este truque é bastante simples. Arranjar qualquer número e dividir por 2 (em outras palavras, a metade). Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final; se não, apague a vírgula (colocando o 5 no final). Também nunca falha. Vamos começar com 3.024:
3024 x 5 = (3024/2) e 0 ou 5
3024/2 = 1512 e 0
15120
Vamos tentar mais um (63):
63 x 5 = (63/2) e 0 ou 5
31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final)
315

terça-feira, 7 de outubro de 2008

Investigação

Hoje, é fundamental que levemos os nossos alunos ao processo de investigação.
Uma atividade boa para tal, é o preenchimento de uma tabela com uma das operações e, depois de preenchida indagar sobre as "propriedades", como por exemplo: na tabela de adição, fazer o aluno descobrir que o zero não acrescenta em nada e, também que 5 + 3 = 3 + 5.
Na tabela de multiplicação podemos explorar que um número par multiplicado por qualquer número o resultado é par. E muitas outras investigações.

quarta-feira, 1 de outubro de 2008

Decoreba

A dificuldade em aprender tabuada não se limita ao ambiente escolar, mas é refletida também no nosso cotidiano. Ao longo do tempo, a “decoreba” foi o método indicado para o seu estudo, uma conseqüência da falta de questionamento, utilizando-se de argumentos que variam desde o simples não há outro jeito às justificativas baseadas no papel da memória na vida humana.

sexta-feira, 26 de setembro de 2008

...Tecnologia


"A utilização de recursos como o computador e a calculadora podem contribuir para que o processo de ensino e aprendizagem de Matemática se torne uma atividade experimental mais rica, sem riscos de impedir o desenvolvimento do pensamento, desde que os alunos sejam encorajados a desenvolver seus processos metacognitivos e sua capacidade crítica e o professor veja reconhecido e valorizado o papel fundamental que só ele pode desempenhar na criação, condução e aperfeiçoamento das situações de aprendizado".

(PCN - Matemática de 5ª a 8ª séries, p. 45)

Tecnologia

"No mundo atual saber fazer cálculos com lápis e papel é uma competência relativa e que deve conviver com outras modalidades de cálculo, como o cálculo mental, as estimativas e o cálculo produzido por calculadoras, portanto, não se pode privar as pessoas de um conhecimento que é útil em suas vidas".

(PCN _ Matemática de 5ª a 8ª séries, p. 45)

Saber Tabuada

Olá amigos!

Estou criando um espaço para trocarmos idéias sobre um tema que muito me deixa preocupada: Será que não devemos cobrar a memorização da tabuada aos nossos alunos?